組み合わせ方は何通り？
５人（A,B,C,D,E）の中から代表者２人を選ぶ。
Aともう一人の代表者を選ぶ組み合わせは４通り。
Bともう一人の代表者を選ぶ組み合わせは３通り。
Cともう一人の代表者を選ぶ組み合わせは２通り。
Dともう一人の代表者を選ぶ組み合わせは１通り。
∴ ４＋３＋２＋１＝１０通りの組み合わせ方があると分かる。
一般化すれば、
異なる n 個のものから、異なる２個を選んで組み合わせる組み合わせ方が何通りあるかは、
Sn ＝（n - 1）＋（n - 2） ··· ＋ 1 ＝ \(\frac{ n ×（ n - １）}{２}\) というように表現される。
5人（A,B,C,D,E）の中から代表者３人を選ぶ。
A,Bともう一人の代表者を選ぶ組み合わせは３通り。
A,Cともう一人の代表者を選ぶ組み合わせは２通り。
A,Dともう一人の代表者を選ぶ組み合わせは１通り。
B,Cともう一人の代表者を選ぶ組み合わせは２通り。
B,Dともう一人の代表者を選ぶ組み合わせは１通り。
C,Dともう一人の代表者を選ぶ組み合わせは１通り。
∴ ６＋３＋１＝１０通りの組み合わせ方があると分かる。
〔注〕● を右図のように正三角形の形に並べたときの ● の総数 1，３， 6， 10，…を三角数という。
左図を見ると、三角数１から三角数 n まで の和 について、次の式が成り立つことが分かる。
Sn ＝\(\frac{（２＋n）× \frac{ n ×（ n ＋１）}{２} }{３}\)
〖別解〗
異なる n 個のものから、異なる r（1≦r≦n ）個を選んで並べる並べ方が何通りあるかは、
nPr ＝ n(n - 1)(n - 2) ··· (n−r+1) ＝ \(\frac{n!}{(n−r)!}\) というように表現される（
並べ方は何通り？
参照）。
上記の並べ方の中で、順番は異なっても r 個の各要素の組み合わせが同じ並べ方は、各組み合わせごとに、\(rP_{1}\)個ある。
∴ 「各組み合わせ」の数 ＝ \(\frac{nPr}{rP_{1}}\) ＝ \(\frac{n!}{(n−r)!×r!}\)
