規則的な数値の並び 等差数列 ＝一定値を次々と足して増やしていく数値の並び

〖例１〗
　７から始まって、３づつ増えていき、９１で終わる数列の場合、
　７から３を引いた値４に、３を２９回足せば、９１になる。
　「７」を［初項］とよび、「３」を［公差］とよび、項の数２９を［項数］とよび、「９１」を［末項］とよぶ。
　一般化すれば、次の式が成り立つ。
　n項（初めからn番目の項）の値＝初項値－公差＋公差×n＝初項値＋公差×（n－１）

〖例２〗
　７から始まって、３づつ増えていき、９１で終わる数列の各項の和を計算する。
　　７＋１０＋１３…８５＋８８＋９１……①
　９１＋８８＋８５…１３＋１０＋　７……②
　９８＋９８＋９８…９８＋９８＋９８…①＋②
　①＋②＝９８×２９＝２８４２
　①＝\(\frac{①＋②}{２}\)＝１４２１
　一般化すれば、次の式が成り立つ。
　初項から末項までの和＝\(\frac{(初項＋末項)×項数}{２}\)

等比数列 ＝一定値を次々と掛けて増やしていく数値の並び

〖例３〗
　７から始まって、３を掛けて増やしていき、１５３０９で終わる数列の場合、
　７に３を７回掛けて増やしていけば、１５３０９になる。

〖例４〗
　７から始まって、３を掛けて増やしていき、１５３０９で終わる数列の各項の和を計算する。
　７＋２１＋…５１０３＋１５３０９……………………………①
　　　２１＋…５１０３＋１５３０９＋４５９２７＝①×３…②
　②－①……４５９２７－７＝４５９２０
　①＝\(\frac{②－①}{２}\)＝２２９６０
　一般化すれば、次の式が成り立つ。
　初項から末項までの和＝\(\frac{初項×公比^n－初項}{公比－１}\)

階差数列 ＝他の数列の各項の差を数値として並べたもの

〖例５〗

　三角数を並べた数列の各項（n）とその次の項（n＋１）の値の差を数値として並べた階差数列と三角数との関係は、次表の通りで、階差数列は等差数列になっている。

項番号 (n)	三角数の値	階差数列各項の値
1	1	2
2	3	3
3	6	4
4	10	5
5	15	6
6	21	7
7	28	8
8	36	9
9	45	10
10	55	11
11	66	12
・・・	・・・	・・・

　階差数列各項の値は、三角数の項番号（n）＋１と一致している。
　項番号（n）の三角数の値を\(T_{n}\) 、階差数列の項番号（n）の値を\(F_{n}\)と置くと、

	\(T_{2}\)	－	\(T_{1}\)	＝	\(F_{1}\)
	\(T_{3}\)	－	\(T_{2}\)	＝	\(F_{2}\)
	\(T_{4}\)	－	\(T_{3}\)	＝	\(F_{3}\)
				・・・
	\(T_{n－2}\)	－	\(T_{n－1}\)	＝	\(F_{n－1}\)
	\(T_{n－1}\)	－	\(T_{n}\)	＝	\(F_{n}\)
	\(T_{n}\)	－	\(T_{n－1}\)	＝	\(F_{n－1}\)
＿＿	＿＿＿	＿	＿＿＿	＿	＿＿＿＿＿＿＿＿
合計	\(T_{n}\)	－	１	＝	\(F_{1}\)＋\(F_{2}\)…\(F_{n－1}\)

　　∴　\(T_{n}\)＝１から\(F_{n－1}\)までの和＝１から\(T_{n}\)までの和＝\(\frac{ n×（ n ＋１）}{２}\)

　右図を見ると、三角数１から三角数 n までの和について、次の式が成り立つことが分かる。
　Sn ＝\(\frac{（２＋n）× \frac{　n　×（ n ＋１）}{２} }{３}\)

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